توزیع دوجمله‌ای و موارد کاربرد آن (Binomial Distribution & Its Applications)

تعداد بازدید: 1466

زمان مطالعه: 16 دقیقه

توزیع‌های احتمال در ارزیابی قابلیت اطمینان (Probability Distributions in Reliability Evaluation)

با اصطلاحاتی مانند تابع چگالی احتمال برای توزیع‌های پیوسته و ناپیوسته، تابع توزیع تجمعی، مقدار انتظاری یا میانگین و واریانس و یا انحراف معیار در پست‌های قبلی آشنا شدیم. همه این اصطلاحات که مبیّن ویژگی‌های توزیع‌ها است در ارزیابی قابلیت اطمینان به کار می‌رود. البته ممکن است برای بیان بهتر ویژگی‌های قابلیت اطمینان از نامگذاری مناسب‌تری استفاده شود. هدف در این پست آشنایی بیشتر با اصطلاحات مناسب‌تر، روش مدلسازی ریاضی و تعیین رابطه میان آن‌ها است.

تابع توزیع فراوانی (تجمعی) با افزایش متغیر اتفاقی از کوچکترین مقدار ممکنه تا بزرگترین مقدار ممکنه از صفر تا یک افزایش می‌یابد. این تابع برای متغیرهای ناپیوسته به صورت پله‌ای و برای متغیرهای پیوسته به صورت منحنی پیوسته تغییر می‌کند. متغیر اتفاقی در ارزیابی قابلیت اطمینان معمولاً زمان در نظر گرفته می‌شود.

هرگاه در زمان $t=0$ قطعه یا سیستمی سالم باشد احتمال شکست در زمان $t=0$ برابر صفر است. با افزایش زمان و میل آن به سمت بی‌نهایت $(t\; \to \;\infty )$ احتمال از کار افتادن به سمت عدد یک میل خواهد کرد یعنی برای مدت زمان کار طولانی یقیناً آن قطعه و یا سیستم از کار خواهد افتاد. این ویژگی معادل تابع توزیع فراوانی تجمعی است و مقیاسی برای سنجش احتمال از کار افتادن به عنوان تابعی از زمان می‌باشد. در بحث قابلیت اطمینان، تابع توزیع فراوانی (تجمعی) به نام تابع توزیع فراوانی از کار افتادن شناخته شده و با نماد $Q(t)$ نشان داده می‌شود.

در بسیاری از موارد عملی، لازم است تا به جای تعیین احتمال وقوع از کار افتادن در یک فاصله زمانی، احتمال بقای آن مورد ارزیابی قرار گیرد. از آنجایی که دو رخداد از کار افتادن و بقا رخدادهایی مکمل‌اند هرگاه تابع توزیع فراوانی بقاء را با $R(t)$ نمایش دهیم:

رابطه (1)

$$R(t) = 1 - Q(t)$$

مشتق تابع توزیع فراوانی تجمعی برای یک متغیر پیوسته (مانند زمان) تابع چگالی احتمال را به دست می‌دهد. بنابراین با مشتق‌گیری تابع توزیع فراوانی از کار افتادن $Q(t)$، تابع چگالی احتمال آن $f(t)$ برحسب زمان به دست می‌آید:

رابطه (2)

$$f(t) = \frac{{dQ(t)}}{{dt}} = - \frac{{dR(t)}}{{dt}}$$

یا

رابطه (3)

$$Q(t) = \int_0^t {f(t)dt} $$

و

رابطه (4)

$$R(t) = 1 - \int_0^t {f(t)dt} $$

مساحت زیر منحنی تابع چگالی احتمال تا زمان بی‌نهایت کلاً برابر یک است بنابراین:

رابطه (5)

$$R(t) = \int_t^\infty {f(t)dt} $$

بدیهی است که برای متغیرهای ناپیوسته، معادلات فوق با تغییر انتگرال به مجموعه جملات جبری همچنان صادق می‌باشد. مقادیر $Q(t)$ و $R(t)$ با ارائه ترسیمی از تابع فرضی برای چگالی احتمال از کار افتادن در شکل (1) به صورت مساحت‌های هاشور خورده نمایش داده شده است. در تکمیل بحث اصطلاحات؛ تابع دیگری که بیشترین کاربرد را در ارزیابی قابلیت اطمینان دارد باید مورد توجه قرار گیرد. این تابع برحسب نوع کاربرد جهت توصیف و تفسیر مناسب با نام‌های تابع آهنگ وقوع خطر، تابع آهنگ زمانی از کار افتادن، تابع آهنگ زمانی تعمیر، آهنگ ویژه از کار افتادن و نظایر آن نامیده می‌شود.

شکل 1

این تابع را با بیان ریاضی آهنگ گذرا با سهولت بیشتری جهت مدلسازی در بررسی و توصیف از کار افتادن می‌توان به کار برد. از این رو نامگذاری آهنگ وقوع خطر مناسبت بیشتری می‌یابد و آن را با نماد $\lambda (t)$ نمایش می‌دهیم. بنابراین آهنگ وقوع خطر مبیّن آهنگ وقوع از کار افتادن صرفاً بر مبنای تعداد از کار افتادگی در واحد زمان به دست نمی‌آید زیرا بستگی به بزرگی نمونه (از نظر تعداد) نیز دارد. به عنوان مثال تعداد از کار افتادگی در طی زمان معین در یک نمونه حاوی 100 عضو مشابه کمتر از نمونه‌ای با 1000 عدد از همان عضوها است. از طرف دیگر ممکن است تعداد از کار افتادگی در طی زمان معین برای نمونه‌های 100 تایی و 1000 تایی به لحاظ تفاوت در شرایط کار (این نمونه‌ها) مقادیر یکسانی شود که در این حالت آهنگ وقوع خطر برای نمونه کوچکتر بیشتر است. بنابراین آهنگ وقوع خطر به تعداد از کار افتادگی در یک دوره زمانی معین و همچنین به تعداد عضوهای در معرض از کار افتادن بستگی خواهد داشت و با بیان ریاضی خواهیم داشت:

رابطه (6)

$$\lambda (t) = \frac{{number\,of\,failures\,per\,unit\,time}}{{number\,of\,components\,\exp osed\,to\,failure}}$$

معادله فوق مبنای تعیین تابع‌های قابلیت اطمینان است.

تابع‌های کلی قابلیت اطمینان (General Reliability Functions)

در بحث تابع‌های کلی قابلیت اطمینان، رابطه‌های میان تابع‌های مختلف بدون اعمال هیچ‌گونه شکل ریاضی خاصی برای آن‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد و لذا برای هرگونه توزیع احتمال مناسب برای تحلیل‌های قابلیت اطمینان کاربردپذیر می‌باشد. با تعریف ${N_0}$ به عنوان تعداد عضوهای متناظری که مورد آزمون مشخصی قرار می‌گیرد و همچنین:

$ = {N_s}(t)$ تعداد عضوهای سالم در مدت زمان

$ = {N_f}(t)$ تعداد عضوهای معیوب شده در مدت زمان

$${N_s}(t) + {N_f}(t) = {N_0}$$

برای قابلیت اطمینان تا هر زمان معین $t$ خواهیم داشت:

رابطه (7)

$$R(t) = \frac{{{N_s}(t)}}{{{N_0}}}$$

رابطه (8)

$$R(t) = \frac{{{N_s}(t)}}{{{N_0}}}$$

متشابهاً برای احتمال از کار افتادن نیز خواهیم داشت:

رابطه (9)

$$\;\;\;\;\;\; = \frac{{{N_0} - {N_f}(t)}}{{{N_0}}} = 1 - {N_f}(t)/{N_0}$$

رابطه (10)

$$\frac{{dR(t)}}{{dT}} = \frac{{ - dQ(t)}}{{dt}} = - \frac{1}{{{N_0}}}\frac{{d{N_f}(t)}}{{dt}}$$

وقتی که $dt\; \to \;0$ باشد در پی معادله (2) خواهیم داشت:

رابطه (11)

$$f(t) = \frac{1}{{{N_0}}}\frac{{d{N_f}(t)}}{{dt}}$$

معادله اخیر مبیّن همان معادله آهنگ زمانی از کار افتادن $\lambda (t)$ است. لذا تابع‌های چگالی احتمال از کار افتادن و آهنگ وقوع خطر در لحظه $t = 0$ و فقط در این لحظه متناظر یکدیگرند و اما در بیان ریاضی برای تابع آهنگ وقوع خطر خواهیم داشت:

رابطه (12)

$\lambda (t) = \frac{1}{{{N_s}(t)}}.\frac{{d{N_f}(t)}}{{dt}}$

رابطه (13)

$\begin{array}{l} \;\;\;\;\; = \frac{{{N_0}}}{{{N_0}}}\frac{1}{{{N_s}(t)}}.\frac{{d{N_f}(t)}}{{dt}} = \frac{{{N_0}}}{{{N_s}(t)}}\frac{1}{{{N_0}}}\frac{{d{N_f}(t)}}{{dt}} = \frac{1}{{R(t)}}.f(t)\\ \;\;\;\;\; = \frac{{f(t)}}{{R(t)}} \end{array}$

با استفاده از معادله (2) خواهیم داشت:

رابطه (14)

$$\lambda (t) = - \frac{1}{{R(t)}}\frac{{dR(t)}}{{dt}}$$

معادله (13) به دلایل متعددی معادله جالبی است. اولاً نتیجه‌گیری قبل تأیید می‌شود؛ یعنی $\lambda (0) = f(0)$. زیرا در $t = 0$ خواهیم داشت: $R(0) = 1$. این معادله همچنین نشان می‌دهد که آهنگ بروز خطر یک تابع شرطی برحسب تابع چگالی احتمال از کار افتادن و شرط آن تابع بقاء می‌باشد. به بیان فیزیکی رابطه فوق بدین مفهوم است که تابع چگالی احتمال از کار افتادن امکان تعیین احتمال از کار افتادن را در هر فاصله زمانی برای آینده فراهم می‌آورد در حالی که آهنگ وقوع خطر امکان این کار را برای فاصله زمانی بعدی مشروط بر عدم وقوع شکست تا زمان $t$ فراهم می‌کند.

همچنین به بیان ریاضی تابع آهنگ وقوع خطر، معادل تابع چگالی احتمال از کار افتادن صرفاً محدود به زمان مورد نظر $t$ می‌باشد. از آنجایی که مساحت زیر منحنی تابع چگالی احتمال از کار افتادن کمتر از واحد است، این قسمت از تابع باید به عدد واحد بازگردانده شده و به اصطلاح نرمالیزه گردد. این کار با تقسیم کردن تابع چگالی احتمال از کار افتادن به مساحت زیر این منحنی برای دوره زمانی پس از مقطع زمان مورد بررسی انجام می‌گیرد. یعنی:

برای زمان محدود به $t$

$$\lambda (t) = \frac{{f(t)}}{{\int_t^\infty {f(t)dt} }}$$

از معادله (5)

$$\;\;\;\;\;\; = \frac{{f(t)}}{{R(t)}}$$

که همان معادله (13) می‌باشد.

حال در ادامه تحلیل برای تعیین قابلیت اطمینان خواهیم داشت:

$$\begin{array}{l} \int_1^{R(t)} {\frac{1}{{R(t)}}dR(t) = \int_0^t { - \lambda (t)dt} } \\ \ln R(t) = \int_0^t { - \lambda (t)dt} \end{array}$$

رابطه (15)

$$R(t) = \exp \left[ { - \int_0^t {\lambda (t)dt} } \right]$$

در شرایط ویژه‌ای که $\lambda $ مستقل از زمان و مقداری ثابت باشد:

رابطه (16)

$$R(t) = {e^{ - \lambda t}}$$

این شکل از تابع به نام توزیع نمایی شناخته می‌شود و در قسمت‌های بعد به تفصیل مورد بحث قرار می‌گیرد.

تعیین تابع‌های قابلیت اطمینان (Evaluation of the Reliability Functions)

مثال (1): به منظور ارائه روش تعیین تابع‌های مختلف در بیان قابلیت اطمینان به ذکر مثالی شامل 1000 عضو مشابه می‌پردازیم. اطلاعات مورد تحلیل انتزاعی و صرفاً برای ارائه مفاهیم در نظر گرفته شده است. تحلیل کاملی از اطلاعات در جدول (1) انعکاس یافته است. روش انجام محاسبات و حصول نتایج ذیلاً تشریح می‌شود و بر مبنای آن شکل‌های (2) تا (5) نمایش ترسیمی این نتایج برای آهنگ وقوع خطر، تابع قابلیت اطمینان یا بقا، تابع چگالی احتمال از کار افتادن و تابع توزیع فراوانی از کار افتادن در اختیار می‌باشد.

a) ستون‌های 1 و 2 اطلاعات حاصل از آزمایش و مشاهدات تجربی می‌باشد.

b) ستون 3 نمایانگر تعداد مجموع شکست‌ها تا هر مقطع زمانی از جمع تعداد شکست‌ها از ابتدا تا آن مقطع زمانی به دست می‌آید: مثلاً ${N_{{f_2}}} = 140 + 85$

جدول

c) ستون 4 نمایانگر تعداد اجزاء سالم باقی مانده در هر مقطع زمانی ${N_s}$ می‌باشد؛ مثلاً:

$${N_{{s_3}}} = 1000 - 300 = 700$$

d) ستون 5 نمایانگر تابع چگالی احتمال از کار افتادن $f$ و بر اساس تعیین نسبت میان تعداد از کار افتادگی در هر دوره زمانی به تعداد کل 1000 به دست می‌آید:

e) ستون 6 نمایانگر تابع توزیع احتمال از کار افتادن $Q$ و بر اساس تعیین نسبت میان تعداد مجموع از کار افتادگی‌ها تا هر مقطع زمانی به تعداد اولیه عضوها (1000) به دست می‌آید؛ مثلاً

$${Q_3} = \frac{{300}}{{1000}} = 0.3$$

عکس

f) ستون 7 نمایانگر تابع بقاء با قابلیت اطمینان $R$ است و بر اساس تعیین نسبت میان تعداد عضوهای سالم در ابتدای هر دوره زمانی به تعداد اولیه عضوها (1000) به دست می‌آید؛ مثلاً:

$${R_3} = \frac{{700}}{{1000}} = 0.7$$

g) ستون 8 نمایانگر آهنگ وقوع خطر $\lambda $ است و بر اساس تعیین نسبت تعداد از کار افتادگی در هر دوره زمانی به تعداد میانگین عضوهای سالم باقیمانده در فاصله آن دوره زمانی به دست می‌آید؛ مثلاً:

$${\lambda _{2 - 3}} = \frac{{75}}{{(775 + 700)/2}} = 0.102$$

عکس

شکل تابع‌های قابلیت اطمینان (Shape of Reliability Functions)

شکلی که برای منحنی آهنگ وقوع خطر مطابق شکل (2) حاصل شد نمونه‌ای است که برای بسیاری از عضوهای فیزیکی واقعی صادق است. این شکل در شباهت با وان حمام با همین نام قابل تقسیم به سه ناحیه است. ناحیه $I$ با نام‌های مختلفی مانند مرگ و میر نوزادی و یا مرحله وقوع اشکالات اولیه شناخته شده و علت آن می‌تواند خطاهای ساخت و یا طراحی نامناسب باشد. در این ناحیه آهنگ وقوع خطر به عنوان تابعی از زمان روند نزولی دارد.

ناحیه $II$ با نام‌های دوره عمر مفید و یا مرحله عملکرد عادی شناخته شده و ویژگی آن ثابت ماندن آهنگ وقوع خطر می‌باشد. وقوع شکست در این ناحیه صرفاً تصادفی است و این تنها ناحیه‌ای است که از توزیع نمایی برای ارزیابی قابلیت اطمینان می‌توان استفاده کرد.

ناحیه $III$ با نام‌های مرحله فرسایش و یا خستگی شناخته شده و مشخصه آن روند شدید افزایشی آهنگ وقوع خطر برحسب زمان می‌باشد.

این سه مرحله در شکل (4) در ارائه تابع چگالی احتمال از کار افتادن به وضوح نمایان است. ناحیه $II$ با تقریب خوبی از منحنی نمایی با توان منفی پیروی می‌کند که به صورت خط‌چین، نمایش ادامه منحنی نیز مشاهده می‌شود. اختلاف منحنی‌های حاصل از نتایج آزمایش و خط‌چین نمایانگر افزونی احتمال از کار افتادن نسبت به دوره عمر مفید است. این اختلاف در ناحیه $III$ بسیار بارز و به مراتب بزرگتر نیز می‌باشد.

اگرچه منحنی ارائه شده در شکل (2) نمایانگر رفتار بسیاری از اجزاء بر مبنای اطلاعات تجربی است ولی به هر حال تفاوت‌هایی نیز میان آن‌ها وجود دارد که برای مقایسه دو حالت حدی شکل‌های (6) و (7) برای اجزاء الکترونیکی و مکانیکی ارائه شده است.

شکل

در مقایسه این دو حالت حدی مشخصاً اجزاء مکانیکی از عمر مفید نسبتاً کوتاهی برخوردار است. بسیاری از قطعات و سیستم‌ها، مانند اجزاء سیستم‌های قدرت و ادوات مکانیکی با اجرای برنامه تعمیرات پیشگیری قادر به ادامه کار با عمر مفید طولانی در محدوده ناحیه $II$ می‌باشد و لذا از نظر اقتصادی نیز توجیه‌پذیر می‌شود. برای این منظور قبل از جایگزینی قطعات یک سیستم حتی‌الامکان از ورود به مرحله فرسایش ممانعت به عمل می‌آید. این یک فرض بسیار مهمی در پیش‌بینی قابلیت اطمینان در طی دوره عمر مفید است و اگرچه برای سهولت تحلیل، چنین فرض می‌شود ولی اعتبار کاملی ندارد زیرا انتظار عملکرد قطعات در طی دوره فرسایش بسیار خوش‌بینانه است. در ادامه به بررسی انواع توزیع‌های احتمال و کاربردشان در ارزیابی قابلیت اطمینان می‌پردازیم.

توزیع پواسون (The Poisson Distribution)

مفاهیم کلی

توزیع پواسون ارائه دهنده احتمال وقوع دفعات معینی از یک رخداد در یک فاصله زمانی معین است مشروط بر آن که آهنگ وقوع آن رخداد در آن فاصله زمانی ثابت باشد. این توزیع اساساً نه تنها برای بستر زمان، بلکه به طور کلی برای هر فضای احتمال صادق است. وقوع رخداد کاملاً تصادفی و برحسب اتفاق رخ می‌دهد. ویژگی خاص در توزیع پواسون شمارش وقوع رخدادها است و عدم وقوع در احتساب نمی‌آید و این از وجوه تمایز اساسی برای این توزیع در مقایسه با توزیع دوجمله‌ای است، زیرا که در توزیع دوجمله‌ای، وقوع و عدم وقوع هر دو باید شمارش و محاسبه شود. در بسیاری از موارد عملاً فقط می‌توان وقوع حادثه را برشمرد و در این موارد توزیع دوجمله‌ای قابل کاربرد نخواهد بود. برای مثال به موارد زیر می‌توان اشاره کرد:

– تعداد دفعات رعد و برق در یک دوره زمانی

– تعداد دفعات زنگ تلفن در یک فاصله زمانی

– تعداد خطاهای یک سیستم

استخراج تابع توزیع پواسون (Derivation of the Poisson Distribution)

همان‌گونه که ذکر شد یکی از الزامات توزیع پواسون ثابت ماندن آهنگ وقوع خطر است. در چنین شرایطی آهنگ وقوع خطر به نام آهنگ زمانی از کار افتادن نامیده می‌شود و این نامی است که در مهندسی سیستم متداول می‌باشد. بنابراین:

آهنگ میانگین از کار افتادن و یا تعداد میانگین از کار افتادگی در واحد زمان $\lambda = $

هرگاه $dt$ نمایانگر فاصله زمانی کوچکی باشد به نحوی که احتمال وقوع بیش از یک از کار افتادگی در آن فاصله زمانی قابل اغماض شود خواهیم داشت:

احتمال وقوع شکست در فاصله زمانی

$$\lambda dt = (t,t + dt)$$

الف) تعداد صفر از کار افتادگی (Zero Failures)

هرگاه ${P_x}(t)$ احتمال وقوع $x$ دفعه از کار افتادگی در فاصله زمانی $(0,t)$ باشد در این صورت چون:

\[\begin{array}{l} probability\,of\,zero\,failures\,in\,the\,{\mathop{\rm int}} erval\,(0,t + dt)\;\;\; = probability\,of\,zero\,failures\,in\,the\,{\mathop{\rm int}} erval\,(0,t)\;\\ \times probability\,of\,zero\,failures\,in\,the\,{\mathop{\rm int}} erval\,(t,t + dt)\\ \Rightarrow {P_0}(t + dt) = {P_0}(t)(1 - \lambda dt) \end{array}\]

با فرض استقلال وقوع حادثه:

$$\frac{{{P_0}(t + dt) - {P_0}(t)}}{{dt}} = - \lambda {P_0}(t)$$

هرگاه $dt\; \to \;0$،

$$\frac{{d{P_0}(t)}}{{dt}} = - \lambda {P_0}(t)$$

که با انتگرال گرفتن:

$$\ln {P_0}(t) = - \lambda t + c$$

در زمان $t = 0$، عضو مورد بررسی سالم است بنابراین ${P_0}(0) = 1$ و لذا $\ln {P_0}(t) = 0$ و لذا $c = 0$ می‌باشد. بنابراین:

رابطه (17)

$${P_0}(t) = {e^{ - \lambda t}}$$

این اولین ترم توزیع پواسون و تعیین کننده احتمال وقوع صفر از کار افتادگی در فاصله زمانی $t$ است. این عبارت از بهترین عبارت‌های ارزیابی کمّی قابلیت اطمینان و متناظر معادله‌ای است که قبلاً نیز در بحث کلی قابلیت اطمینان به دست آمد. این عبارت نشان می‌دهد که هرگاه:

مقداری ثابت

$$\lambda (t) = \lambda $$

آنگاه برای تعداد صفر از کار افتادگی

رابطه (18-الف)

$$R(t) = {e^{ - \lambda t}}$$

رابطه (18-ب)

$$Q(t) = 1 - {e^{ - \lambda t}}$$

رابطه (18-ج)

$$f(t) = - \frac{{dR(t)}}{{dt}} = \lambda {e^{ - \lambda t}}$$

ب) تعداد چند از کار افتادگی (Multiple Failures)

هرگاه ${P_x}(t)$ نمایانگر احتمال وقوع تعداد $x$ از کار افتادگی در فاصله زمانی $(0,t)$ باشد در این صورت:

$$\begin{array}{l} {P_x}(t + dt) = {P_x}(t).\left[ {P(Zero\;Failure\;in\;t,t + dt)} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + {P_{x - 1}}(t).\left[ {P(one\;Failure\;in\;t,t + dt)} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + {P_{x - 2}}(t).\left[ {P(two\;Failure\;in\;t,t + dt)} \right] + \;...\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{P_0}(t)\left[ {P(x\;Failure\;in\;t,t + dt)} \right] \end{array}$$

یادآوری می‌شود که فاصله زمانی $dt$ به اندازه‌ای کوچک است که احتمال وقوع بیش از یک حادثه در آن فاصله زمانی قابل اغماض است. بنابراین:

$$\begin{array}{l} {P_x}(t + dt) = {P_x}(t)\left[ {P(Zero\;Failure\;in\;t,t + dt)} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + {P_{x - 1}}(t)\left[ {P(one\;Failure\;in\;t,t + dt)} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {P_x}(t)(1 - \lambda dt) + {P_{x - 1}}(t)\lambda dt\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {P_x}(t) - \lambda dt\left[ {{P_x}(t) - {P_{x - 1}}(t)} \right] \end{array}$$

و بر این مبنا:

رابطه (19)

$${P_x}(t) = \frac{{{{(\lambda t)}^x}{e^{ - \lambda t}}}}{{x!}}$$

معادله اخیر عبارت کامل برای بیان توزیع پواسون است که با استفاده از آن احتمال هر تعداد از کار افتادگی را در فاصله زمانی $(0,t)$ می‌توان به دست آورد. از مهم‌ترین نکات قابل توجه در کاربرد این معادله این است که در صورت وقوع از کار افتادگی ناشی از وقوع عیب در هر عضو از یک سیستم، مدت زمان لازم در تعمیر و تعویض آن عضو در مقایسه با مدت زمان میانگین برای از کار افتادن سیستم بسیار ناچیز و قابل اغماض باشد (در غیر این صورت از شیوه‌های دیگری مانند شیوه فرآیند مارکوف باید استفاده کرد). لذا تعداد از کار افتادگی صرفاً بر اساس مدت عملکرد صحیح سیستم محاسبه می‌شود.

ج) مقدار انتظاری (Expected Value)

در تعیین مقدار انتظاری برای یک متغیر ناپیوسته داریم:

$$E(x) = \sum\limits_{x = 0}^\infty {x{P_x}} $$

که در آن $x$ نمایانگر تعداد دفعات از کار افتادگی و ${P_x}$ نمایانگر احتمال وقوع $x$ دفعه از کار افتادگی در دوره زمانی مورد نظر است. با جایگذاری برای ${P_x}$ از معادله (19) داریم:

$$E(x) = \sum\limits_{x = 0}^\infty {x\frac{{{{(\lambda t)}^x}{e^{ - \lambda t}}}}{{x!}}} = \sum\limits_{x = 1}^\infty {x\frac{{{{(\lambda t)}^x}{e^{ - \lambda t}}}}{{x!}}} $$

زیرا که اولین عبارت به ازای  برابر صفر است:

رابطه (20)

$$ = \lambda t\sum\limits_{x = 1}^\infty {\frac{{{{(\lambda t)}^{x - 1}}{e^{ - \lambda t}}}}{{(x - 1)!}}} = \lambda t$$

بنابراین معادله کلی توزیع پواسون با جایگذاری $\mu = \lambda t$ به صورت در پی آمده نیز نمایش‌پذیر است:

$${P_x}(t) = \frac{{{\mu ^x} - {e^{ - \mu }}}}{{x!}}$$

مثال (2): در یک سیستم بزرگ، تعداد میانگین وقوع عیب در کابل در سال برای هر $100\;km$ از طول کابل برابر 0.5 است. مطلوب است تعیین احتمال تعداد 0، 1، 2 و بیشتر از وقوع عیب برای $10\;km$ از طول کابل

الف) برای مدت زمان 20 سال

ب) برای مدت زمان 40 سال

حل: با فرض این که آهنگ زمانی از کار افتادن برای $10\;km$ از طول کابل و برای مدت زمان 20 و 40 سال مقدار ثابتی داشته باشد. آهنگ از کار افتادن انتظاری خواهد شد:

$$\lambda = \frac{{0.5 \times 10}}{{100}} = 0.05\;f/yr$$

الف) برای دوره زمان 20 سال

$$\begin{array}{l} E(x) = 0.05 \times 20 = 1.0\\ {P_x} = \frac{{{1^x}{e^{ - 1}}}}{{x!}} = \frac{1}{{x!\;.\;e}}\;\;for\;\;x = 0,\;1,\;2,\;... \end{array}$$

عکس

ب) برای دوره زمان 40 سال

$$\begin{array}{l} E(x) = - 0.5 \times 40 = 2.0\\ {P_x} = \frac{{{2^x}{e^{ - 2}}}}{{2!}}\;\;for\;\;x = 0,\;1,\;2,\;... \end{array}$$

عکس

تابع چگالی احتمال از کار افتادن و توزیع احتمال از کار افتادن در شکل‌های (8- الف و ب) برای این دو دوره زمانی نشان داده شده است.

رابطه میان توزیع‌های پواسون و دوجمله‌ای (Relationship with the Binomial Distribution)

در بسیاری از کتب آمار مهندسی، توزیع پواسون به عنوان تقریب مناسب برای محاسبات توزیع دوجمله‌ای معرفی و ارائه شده است و این بالقوه می‌تواند موجب این اشتباه گردد که توزیع پواسون صرفاً به عنوان روشی برای تقریب زدن است در حالی که خود جایگاه خاصی در بسیاری از کاربردها دارد. البته تحت شرایط معینی، توزیع‌های دوجمله‌ای و پواسون در ارتباط با یکدیگر مطرح می‌باشد. بدین ترتیب که از توزیع پواسون به عنوان تقریبی برای توزیع دوجمله‌ای می‌توان استفاده کرد.

احتمال وقوع حادثه به تعداد $r$ دفعه از $n$ مرتبه آزمایش بر اساس توزیع دوجمله‌ای طبق معادله در پی آمده به دست می‌آید.

$${P_r} = \frac{{n!}}{{r!\left( {n - r} \right)!}}{p^r}{q^{n - r}}$$

حال اگر $n \gg r$ باشد

$$\frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)!}} = n(n - 1)(n - 2)...(n - r + 1) \simeq {n^r}$$

بنابراین:

$${P_r} = \frac{{{n^r}}}{{r!}}{p^r}{q^{n - r}}$$

همچنین هرگاه $p$ بسیار کوچک باشد. لذا:

$$\begin{array}{l} {q^{n - r}} \simeq {(1 - p)^n}\\ {P_r} = \frac{{{{(np)}^r}}}{{r!}}{(1 - p)^n} = \frac{{{{(np)}^r}}}{{r!}}\left[ {1 - np + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{{( - p)}^2} + ...} \right] \end{array}$$

هرگاه $n$ بزرگ باشد

$$n(n - 1) \cong {n^2}$$

انحراف استاندارد در توزیع دوجمله‌ای عبارت است از: $\sigma = \sqrt {npq} $ و تحت شرایطی که مقدار $p$ بسیار کوچک و توزیع‌های پواسون و دوجمله‌ای معادل یکدیگر می‌شود خواهیم داشت:

$$\sqrt q \cong 1\;\;\;\& \,\;\;\sigma = \sqrt {np} $$

همچنین می‌توان استدلال کرد که انحراف استاندارد در توزیع پواسون از معادله در پی آمده قابل حصول است:

رابطه (21)

$$\sigma = \sqrt {\lambda t} = \sqrt {E(t)} $$

مثال (3): احتمال موفقیت در یک مرتبه آزمایش برابر 0.1 است مطلوب است محاسبه احتمال وقوع دقیقاً 2 مرتبه موفقیت در 10 دفعه تکرار آن آزمایش.

الف) با استفاده از توزیع دوجمله‌ای

ب) با استفاده از توزیع پواسون

الف)

$$P(2){ = _{10}}{C_2}{(0.1)^2} \times {(0.9)^8} = \frac{{10!}}{{2!8!}} \times {0.1^2} \times {0.9^8} = 0.1937$$

ب)

$$\begin{array}{l} np = 10 \times 0.1 = 1.0\\ P(2) = \frac{{{{1.0}^2}}}{{2!}}{e^{ - 1.0}} = 0.1839 \end{array}$$

مثال (4): مطلوب است تکرار محاسبات مثال (3) برای حالتی که احتمال در هر مرتبه آزمایش برابر 0.005 و دفعات تکرار آزمایش 20 مرتبه باشد.

الف)

$$P(2) = \frac{{20!}}{{2!18!}} \times {0.005^2} \times {0.995^{18}} = 0.0043$$

ب)

$$\begin{array}{l} np = 20 \times 0.005 = 0.1\\ P(2) = \frac{{{{0.1}^2}}}{{2!}}{e^{ - 0.1}} = 0.0045 \end{array}$$

توزیع نرمال (The Normal Distribution)

مفاهیم کلی (General Concept)

توزیع احتمال نرمال به نام توزیع احتمال گوسی نیز نامیده می‌شود و از مهم‌ترین و متداول‌ترین توزیع‌های مورد استفاده در علم آمار و احتمال است و اگرچه در ارزیابی قابلیت اطمینان نیز کاربردهای نسبتاً مهمی دارد ولی در مباحث دیگر از اهمیت بیشتری برخوردار است.

تابع چگالی احتمال در توزیع نرمال حول مقدار میانگین کاملاً متقارن است. پراکندگی نتایج نسبت به این مقدار توسط انحراف استاندارد سنجیده می‌شود و لذا شکل دقیق و موقعیت تابع چگالی احتمال با این دو شاخص به طور کامل قابل تعیین است. همین دو شاخص در سایر توزیع‌های احتمال نیز تعیین کننده است و باید توجه داشت در جایی که صرفاً این دو شاخص ذکر می‌شود اشتباهاً توزیع نرمال مفروض قرار نگیرد.

تابع چگالی احتمال (Probability Density Function)

تابع چگالی احتمال از نوع نرمال به طور کلی به صورت در پی آمده تقریر می‌یابد:

$$f(x) = \frac{1}{{\beta \sqrt {2\pi } }}\exp \left[ { - \frac{{{{(x - \alpha )}^2}}}{{2{\beta ^2}}}} \right]$$

هرگاه مقدار میانگین $\mu $ و انحراف استاندارد $\sigma $ برای عبارت فوق محاسبه شود می‌توان نشان داد که:

$$\mu = \alpha \;\;\;\& \;\;\sigma = \beta $$

بنابراین تابع چگالی احتمال برای توزیع نرمال همواره به صورت معادله (22) نوشته می‌شود:

رابطه (22)

$$f(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}\exp \left[ { - \frac{{{{(x - \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right]$$

نمونه‌هایی از شکل تابع چگالی احتمال در شکل (9-الف) برای میانگین مشخصی معادل $\mu $ و سه مقدار مختلف برای $\sigma $ ارائه شده است. شکل تابع توزیع احتمال (تجمعی) در شکل (9-ب) نشان داده شده است. از ویژگی‌های اصلی این منحنی عبور آن از نقطه $(\mu ,\;0.5)$ به دلیل تقارن منحنی توزیع چگالی احتمال است. تغییرات تابع آهنگ وقوع خطر در شکل (9-ج) نشان داده شده است.

عکس

از آنجایی که مقدار $\mu $ تعیین کننده موقعیت منحنی‌ها در طول محور $x$ است آن را پارامتر تعیین موقعیت نیز می‌نامند. متشابهاً مقدار $\sigma $ نیز تعیین کننده میزان پراکندگی توزیع است و لذا آن را پارامتر مقیاس می‌نامند. با ارجاع به مباحث قبل داشتیم: $\int_{ – \infty }^{ + \infty } {f(x)dx = 1} $ بنابراین:

$$\frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\exp \left[ { - \frac{{{{(x - \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right]dx = 1} $$

که صرفاً به مفهوم مساحت زیر منحنی میان دو حد بی‌نهایت است و چون در برگیرنده همه مقادیر میسر برای متغیر اتفاقی $x$ می‌باشد لذا برابر یک و به معنای وقوع قطعی است. احتمال وقوع متغیر اتفاقی در فاصله میان هر دو حد اختیاری با تغییر حدود انتگرال، تعیین‌پذیر است. متأسفانه این انتگرال‌گیری با توابع ریاضی ساده، نمایش‌پذیر نیست و در تعیین مقدار آن چاره‌ای به جز توسل به طرق خاص وجود ندارد. یکی از این طرق، انتگرال‌گیری عددی مانند استفاده از قاعده سیمپسون از طریق برنامه‌نویسی رایانه‌ای است.

طریق دیگر، استفاده از جداولی است که نتیجه محاسبه انتگرال را برای حدود مشخصی از $x$ در اختیار می‌گذارد. برای این منظور ضرورتاً منحنی یگانه‌ای به نام منحنی استاندارد حاکم بر همه توزیع‌های نرمال بر مبنای تغییر متغیر در پی آمده ایجاد می‌شود:

رابطه (23)

$$Z = \frac{{x - \mu }}{\sigma }$$

رابطه (24)

$$f(Z) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\exp \left[ { - \frac{{{Z^2}}}{2}} \right]$$

در معادله (24)، $Z$ عبارت از متغیر اتفاقی جدید خواهد بود که مقدار میانگین آن صفر و انحراف معیار آن برابر واحد می‌شود. لذا این جایگذاری موجب منحنی استاندارد یگانه‌ای می‌شود که در آن انحراف متغیر اتفاقی نسبت به مقدار میانگین برحسب $\sigma $ و توسط مقدار $Z$ بیان می‌شود. جدول محاسبات برای مساحت زیر منحنی محدود به هر دو حد اختیاری در تعیین احتمال وقوع در اختیار قرار دارد. در شکل (10) مساحت زیر منحنی در محدوده‌های معینی بر مبنای اعداد صحیح برای $Z$ ارائه شده است.

طبق این شکل، مساحت زیر منحنی در محدوده $Z = \pm 3$ برابر با 0.9972 و لذا نزدیک به عدد 1 است. به این مفهوم که احتمال وقوع متغیر در محدوده‌ای خارج از آن نسبتاً کوچک است. از این رو محدوده‌های $ \pm 3\sigma $ در موارد بسیاری به عنوان محدوده‌های اطمینان جهت توزیع‌های نرمال تلقی می‌شود. بدین معنا که این محدوده‌ها همه مقادیر محتمل برای متغیر اتفاقی را تحت پوشش دارد، که البته این فرض معقولی است مشروط بر آن که از رخدادهای استثنایی و کمیاب بتوان چشم‌پوشی کرد.

ارزیابی احتمالات (Evaluation of Probability)

عکس

رابطه (25)

$$Q(Z) = y\left[ {{b_1}t + {b_2}{t^2} + {b_3}{t^3} + {b_4}{t^4} + {b_5}{t^5}} \right] + e(Z)$$

که در آن:

$$\begin{array}{l} y = f(Z) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\exp \left( { - \frac{{{Z^2}}}{2}} \right)\\ t = \frac{1}{{1 + rZ}}\;\;\;,\;\;\;r = 0.2316419\\ {b_1} = 0.31938153\;\;\;\;\;,\;\;\;{b_2} = - 0.356563782\\ {b_3} = 1.781477937\;\;\;,\;\;\;{b_4} = - 1.82125597 \end{array}$$

مقدار خطا:

$${b_5} = 1.330274429\;\;\;,\;\;\;|e(Z)|\; < 7.5 \times {10^{ - 8}}$$

این معادله دقت کافی برای کلیه کاربردها را در اختیار می‌گذارد و صرفاً برای مقادیر مثبت $Z$ صادق است ولی از آنجایی که منحنی نرمال دارای تقارن است لذا:

رابطه (26)

$$Q( - Z) = Q(Z)$$

همچنین معکوساً می‌توان مقدار $Z$ قابل انتساب به احتمال وقوع $Q$ را به ترتیب در پی آمده به دست آورد.

رابطه (27)

$$Z = t - \frac{{{c_0} + {c_1}t + {c_2}{t^2}}}{{1 + {d_1}t + {d_2}{t^2} + {d_3}{t^3}}} + e(Q)$$

که در آن $t = \sqrt {\ln \frac{1}{{{Q^2}}}} $:

$$\begin{array}{l} {c_0} = 2.515517\;\;\;\;\;\;{c_1} = 0.802853\;\;\;\;\;\;{c_2} = 0.010328\\ {d_1} = 1.432788\;\;\;\;\;\;{d_2} = 0.189269\;\;\;\;\;\;{d_3} = 0.001308 \end{array}$$

مقدار خطا:

$$|e(Q)| < 0.45 \times {10^{ - 4}}$$

مثال (5): اداره مسئول روشنایی شهری تعداد 2000 عدد لامپ با عمر میانگینی برابر $1000\;hr$ روشنایی و انحراف استانداردی معادل $200\;hr$ به کار برده است چه تعداد لامپ انتظار می‌رود که در $700\;hr$ اول بسوزد؟

تابع چگالی احتمال در این مسئله در شکل (12-الف) ارائه شده است که در آن $\mu = 1000\;hr$ و $\sigma = 200$ می‌باشد. احتمال مورد نظر با سطح هاشور خورده مشخص شده است و در محاسبه خواهیم داشت:

$$Z = \frac{{700 - 1000}}{{200}} = - 1.5$$

از جدول محاسبه احتمال مساحت برابر است با:

$ 0.5 - 0.4332 = 0.0668$

و با استفاده از معادله تقریبی پلی نومیال:

$$Q(1.5) = 0.0668$$

بنابراین:

$$Q( - 1.5) = 0.0668$$

تعداد از کار افتادگی انتظاری:

$$2000 \times 0.0668 = 133.6 \equiv 134\;lamps$$

مثال (6): در مثال (5) چه تعداد لامپ انتظار می‌رود که در فاصله زمانی $900\;hr$ تا $1300\;hr$ بسوزد؟

مجدداً مانند قبل با رجوع به شکل (12-ب)

$${Z_1} = \frac{{900 - 1000}}{{200}} = - 0.5$$
$$\begin{array}{l} {Z_2} = \frac{{1300 - 1000}}{{200}} = 1.5\\ {A_1} = 0.1915\;\;\;\& \;\;\;{A_2} = 0.4332 \end{array}$$

مساحت کل:

$${A_1} + {A_2} = 0.6247$$

تعداد از کار افتادگی انتظاری:

$$2000 \times 0.6247 = 1249.4 \equiv 1250\;lamps$$

مثال (7): در مثال (5) پس از چه مدت روشنایی انتظار می‌رود که $10\% $ از لامپ‌ها بسوزد؟

در این مسئله مساحت مطابق شکل (12-ج) معلوم است و باید مقدار $Z$ تعیین شود. برای استفاده از جدول احتمال، مساحت مورد نظر را از عدد 0.5 کم می‌کنیم و مبنای تعیین $Z$ قرار می‌دهیم.

$$0.5 - 0.1 = 0.4$$

با میانیابی خطی:

$$Z = - 1.2817$$
$$\frac{{x - 1000}}{{200}} = - 1.2817\; \Rightarrow \;x = 743.7\;hr$$

عکس

توزیع نمایی (The Exponential Distribution)

مفاهیم کلی (General Concepts)

توزیع نمایی یا بهتر بگوییم توزیع با نمای منفی متداول‌ترین توزیع فراوانی است که در ارزیابی قابلیت اطمینان سیستم‌ها به کار می‌‌رود. مهم‌ترین ویژگی آن ثابت بودن آهنگ وقوع خطر است که به نام آهنگ زمانی از کار افتادن شناخته می‌شود. اساساً همین الزام در مورد توزیع پواسون نیز مطرح است و به علت همین ویژگی وقتی احتمال اولین شکست با توزیع پواسون مورد بررسی قرار می‌گیرد، توزیع نمایی را حالت خاصی از توزیع پواسون می‌توان تلقی کرد ولی باید توجه داشت که توزیع نمایی عملاً اهمیتی بیش از صرف پیش‌بینی وقوع اولین شکست دارد و به ویژه برای تحلیل سیستم‌هایی که شرایط عضوهای آن میان شرایط عملکرد و از کار افتادن در چرخش است مورد استفاده قرار می‌گیرد ولی صراحتاً می‌توان استدلال کرد که توزیع نمایی به طور کلی حالت خاصی از توزیع‌های ویبال و گاما نیز می‌باشد.

همان‌گونه که ملاحظه شد کاربرد توزیع نمایی در محدوده عمر مفید یا دوره عملکرد عادی اجزاء با آهنگ از کار افتادن مستقل از زمان و ثابت اعتبار دارد. این شرایط از دو جنبه حائز توجه است. اول این که شیوه‌های تحلیلی به ویژه برای سیستم‌های بزرگ بسیار پیچیده است مگر آن که به روش‌هایی مانند کاربرد توزیع نمایی ساده‌سازی معقولی صورت گیرد. دوم این که اطلاعات موجود در عمل بسیار محدودتر از آن است که با قاطعیت بتوان به توزیع صحیح حاکم بر اطلاعات پی برد. لذا کاربرد روش‌های تحلیلی به مراتب دقیق‌تر از اطلاعات مورد پردازش جای بحث می‌یابد.

تابع قابلیت اطمینان (Reliability Functions)

قبلاً نیز نشان داده شد که احتمال سالم ماندن قطعه‌ای برای مدت زمان $t$ وقتی آهنگ از کار افتادن آن ثابت و مستقل از زمان است از معادله در پی آمده پیروی می‌کند.

رابطه (28)

$$R(t) = {e^{ - \lambda t}}$$

بنابراین:

رابطه (29)

$$f(t) = \frac{{ - dR(t)}}{{dt}} = \lambda {e^{ - \lambda t}}$$

تغییرات تابع چگالی احتمال از کار افتادن و همچنین توزیع احتمال از کار افتادن $Q(t)$ و قابلیت اطمینان $R(t)$ در شکل (13) نشان داده شده است.

عکس

تابع توزیع احتمال از کار افتادن و قابلیت اطمینان به صورت در پی آمده نمایش‌پذیر است.

رابطه (30)

$$Q(t) = \int_0^t {\lambda {e^{ - \lambda t}}dt = 1 - {e^{ - \lambda t}}} $$

رابطه (31)

$$R(t) = \int_t^\infty {\lambda {e^{ - \lambda t}}dt = {e^{ - \lambda t}}} $$

تغییرات تابع چگالی احتمال از کار افتادن $f(t)$، توزیع احتمال از کار افتادن $Q(t)$ و آهنگ زمانی از کار افتادن $\lambda (t)$ در شکل‌های (13-ب، ج و د) ارائه شده است.

میانگین و انحراف استاندارد (Mean Value & Std. Deviation)

همان‌گونه که قبلاً به دست آمد برای متغیر اتفاقی از نوع پیوسته در محدوده $(0,\infty )$ داریم:

$$E(x) = \int_0^\infty {x.f(x)dx} $$

لذا برای تابع نمایی داریم:

$$E(x) = \int_0^\infty {tf(t)dt = \int_0^\infty {\lambda t.{e^{ - \lambda t}}dt} } $$

و با تغییر متغیر به صورت:

$$\begin{array}{l} u = t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dv = \lambda {e^{ - \lambda t}}dt\; \to \;V = - {e^{ - \lambda t}}\\ \int {udv = uv - \int {vdu} } \end{array}$$

بنابراین:

$$\begin{array}{l} E(t) = \left[ { - t{e^{ - \lambda t}}} \right]_0^\infty - \int_0^\infty { - {e^{ - \lambda t}}} dt\\ \;\;\;\;\;\; = \left[ { - t{e^{ - \lambda t}}} \right]_0^\infty - \left[ {\frac{1}{\lambda }{e^{ - \lambda t}}} \right]_0^\infty = 0 + \frac{1}{\lambda } \end{array}$$

رابطه (32)

$$E(t) = \frac{1}{\lambda }$$

متناظراً برای تعیین انحراف استاندارد $\sigma $ می‌توان نوشت:

$${\sigma ^2} = \int_0^\infty {{t^2}\lambda {e^{ - \lambda t}}dt - {E^2}(t)} $$

با انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء داریم:

$$\begin{array}{l} {\sigma ^2} = \left[ { - {t^2}{e^{ - \lambda t}}} \right]_0^\infty - \int_0^\infty { - 2t{e^{ - \lambda t}}} dt - {E^2}(t)\\ \;\;\;\; = 0 + \frac{2}{\lambda }\int_0^\infty {\lambda t{e^{ - \lambda t}}} dt - {E^2}(t) = 0 + \frac{2}{\lambda }.\frac{1}{\lambda } - \frac{1}{{{\lambda ^2}}} \end{array}$$

لذا:

رابطه (33)

$$\sigma = \frac{1}{\lambda }$$

بنابراین میانگین و انحراف استاندارد در توزیع نمایی با هم برابرند.

مقدار انتظاری یا مقدار میانگین در یک تابع توزیع احتمال از کار افتادن معمولاً با نام مدت میانگین تا از کار افتادن شناخته می‌شود که در مورد توزیع نمایی مقدار آن معکوس آهنگ از کار افتادن $\lambda $ است.

اصطلاح دیگری با تفاوت اندکی تحت عنوان مدت متوسط میان از کار افتادگی‌ها مطرح است که گاهی برای همین منظور استفاده می‌شود. این تفاوت برای اجزاء تعمیرپذیر مقدار عمده و قابل توجهی می‌شود زیرا $MTBF$ نشان‌دهنده مدت زمان چرخه میان از کار افتادگی‌هاست که در مقایسه با $MTTF$ به میزان مدت زمان انجام برای تعمیر تفاوت دارد. البته در اکثر قطعات و سیستم‌ها مدت زمان تعمیر در مقایسه با مدت عملکرد میان از کار افتادگی‌ها خیلی کوچک است از این رو مقادیر $MTTF$ و $MTBF$ خیلی به یکدیگر نزدیک می‌شوند.