توزیع دوجمله‌ای و موارد کاربرد آن (Binomial Distribution & Its Applications)
تعداد بازدید: 4681
زمان مطالعه: 16 دقیقه
فهرست مطالب این نوشته
مفاهیم توزیع دوجمله‌ای (Binomial Distribution Concepts)
نخست به بررسی توزیع دوجمله‌ای می‌پردازیم. توزیع دوجمله‌ای در اساس مستقیماً در ارتباط با مفهوم تعداد ترکیب‌ها مطرح است. بسیاری از مسائل احتمالات مهندسی بر مبنای حصول دانشی از توزیع دوجمله‌ای بررسی‌پذیر است به نحوی که حتی تحلیل مسائل پیچیده نیز به سهولت میسر می‌شود. در ابتدا لازم است تا ارتباط میان مفهوم ترکیبات و توزیع دوجمله‌ای شناخته شود. اگر دوباره چرخش سکه و احتمال شیر $H$ و یا خط $T$ برابر $\frac{1}{2}$ در نظر گرفته شود، کلیه نتایج میسر و احتمال وقوع آن‌ها را به صورت در پی آمده می‌توان نشان داد.
رابطه (1)
$$P(H) + P(T) = {[P(H) + P(T)]^1}$$
وقتی که آزمایش چرخش سکه دو بار تکرار شود نتایج ممکن عبارتند از $(TT),(TH),(HT),(HH)$ و در صورتی که صرفاً ترکیبات نتایج مورد بررسی باشد و ترتیب نتایج اهمیت نداشته باشد احتمال نتایج حاصل به صورت $(TT),2(HT),(HH)$ با مقادیر $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$ خواهد بود. بنابراین احتمال وقوع نتایج به صورت ریاضی به شکل زیر نمایش داده می‌شود:
رابطه (2)
$$\begin{array}{l}
P(H).P(H) + 2P(H)P(T) + P(T)P(T) = {P^2}(H) + 2P(H)P(T)\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + {P^2}(T) = {[P(H) + P(T)]^2}
\end{array}$$
سرانجام وقتی تجربه چرخش سکه سه بار تکرار شود و مجدداً ترتیب نتایج بی‌اهمیت و صرفاً تعداد ترکیب‌های آن‌ها در نظر گرفته شود با بیان ریاضی می‌توان نشان داد که:
رابطه (3)
$${P^3}(H) + 3{P^2}(H)P(T) + 3P(H){P^2}(T) + {P^3}(T) = {[P(H) + P(T)]^3}$$
سمت چپ معادله‌های (1) تا (3) نشان‌دهنده همه نتایج ممکن و تعداد طرقی است که هر نتیجه با پیمودن آن حاصل می‌شود.
به عنوان مثال $3{P^2}(H).P(T)$ در معادله (3) نشان‌دهنده تعداد 2 شیر و یک خط (بر مبنای توان هر یک) در سه بار آزمایش است که به سه طریق می‌تواند اتفاق افتد و ضریب 3 نمایانگر این تعداد برای طرق میسر است. یک نکته مهم این که احتمال وقوع این حالت با محاسبه همین عبارت ریاضی به دست می‌آید.
سمت راست این معادلات عبارت قراردادی توزیع دوجمله‌ای است و توان ظاهر شده برای آن نمایانگر دفعات تکرار آزمایش است. از این مثال ساده آشکار است که توزیع دوجمله‌ای نمایش دهنده کلیه نتایج میسر و احتمال وقوع آن‌هاست و در شکل کلی به صورت ${(p + q)^n}$ نمایش داده می‌شود. همچنین ارتباط میان این توزیع و تعداد ترکیبات کاملاً روشن است. برای کلیت بخشیدن کاربرد این مثال کافی است تا یکی از دو روی سکه مثلاً شیر به عنوان موفقیت و روی دیگر یعنی خط به عنوان شکست تلقی گردد و بدین ترتیب می‌توان مفاهیم فوق را در ارتباط با کاربردهای مهندسی مانند قابلیت اطمینان توصیف کرد که در آن $p$ نمایانگر احتمال موفقیت و $q( = 1 – p)$ نمایانگر احتمال شکست است.
خواص توزیع دوجمله‌ای (Properties of the Binomial Distribution)
ویژگی‌های عمومی
از بحث فوق نتیجه می‌شود که توزیع دوجمله‌ای با عبارت ریاضی (4) نمایش‌پذیر است:
رابطه (4)
$${(p + q)^n}$$
برای این که امکان استفاده از عبارت فوق در ارزیابی‌ها فراهم باشد، چهار شرط مشخص باید ارضا گردد:
الف) تعداد آزمایش‌ها باید مشخص شده باشد.
ب) در هر آزمایش صرفاً دو نتیجه ممکن به صورت موفقیت و شکست (یا به عبارت دیگر به صورت حادثه‌های مکمل که دو به دو ناسازگارست) مطرح باشد به نحوی که $p + q = 1$
ج) احتمال موفقیت و یا شکست در هر آزمایش ثابت باقی بماند.
د) کلیه آزمایش‌ها مستقل از یکدیگر باشد و نتایج هر یک بر دیگری هیچ‌گونه تأثیری نگذارد.
برای کاربرد توزیع دوجمله‌ای و ارزیابی نتایج میسر و احتمال وقوع آن‌ها باید عبارت ${(p + q)^n}$ را الزاماً بسط داد یعنی:
رابطه (5)
$$\begin{array}{l}
{(p + q)^n} = {p^n} + n{p^{n - 1}}{q^1} + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{p^{n - 2}}{q^2} + ...\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \frac{{n(n - 1)...(n - r + 1)}}{{r!}}{p^{n - r}}{q^r} + ... + {q^n}
\end{array}$$
هرگاه به جمله $(r + 1)$ ام توجه شود ضریب تعیین تعداد طرق میسر برای آن حالت نمایانگر همان تعداد ترکیبات از حالاتی است که منجر به وقوع $r$ شکست به همراه $(n – r)$ موفقیت در مرتبه آزمایش است که با نماد $_n{C_r}$ نمایش داده می‌شود و لذا برای هر جمله از بسط دوجمله‌ای در پیش‌بینی تعداد $r$ موفقیت از $n$ مرتبه آزمایش خواهیم داشت.
رابطه (6)
$$P\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
r
\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{r!(n - r)!}}{p^r}{q^{n - r}}{ = _n}{C_r}{p^r}{q^{n - r}}{ = _n}{C_r}{p^r}{(1 - p)^{n - r}}$$
و لذا با جایگذاری:
رابطه (7)
$${(p + q)^n} = \sum\limits_{r = 0}^n {_n{C_r}{p^r}{q^{n - r}} = 1} $$
مقدار انتظاری و انحراف استاندارد (Expected Value & Std. Deviation)
مهم‌ترین پارامترهای توزیع، مقدار انتظاری یا میانگین و انحراف استاندارد است. برای متغیرهای ناپیوسته از جمله متغیری با توزیع دوجمله‌ای می‌توان نوشت:
$$E(x) = \sum\limits_{x = 0}^n {x{._n}{C_x}.{p^x}.{q^{n - x}} = \sum\limits_{x = 0}^n {x\frac{{n!}}{{x!(n - x)!}}{p^x}{q^{n - x}}} } $$
جمله اول در بسط سمت راست معادله فوق به ازای $x = 0$ برابر صفر است لذا:
$$\begin{array}{l}
E(x) = \sum\limits_{x = 1}^n {\frac{{n!}}{{(x - 1)!(n - x)}}{p^x}{q^{n - x}}} \\
\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{x = 1}^n {\frac{{n(n - 1)!}}{{(x - 1)!(n - x)!}}p{p^{x - 1}}{q^{n - x}}} \\
\;\;\;\;\;\;\;\; = np\sum\limits_{x = 1}^n {\frac{{(n - 1)!}}{{(x - 1)!(n - x)!}}{p^{x - 1}}{q^{n - x}}}
\end{array}$$
$$E(x) = np\sum\limits_{y = 0}^m {\frac{{m!}}{{y!(m - y)!}}{p^y}{q^{m - y}}} $$
با تعریف: $n – 1 = m\;\;,\;\;x – 1 = y$ خواهیم داشت:
$$E(x) = np\sum\limits_{y = 0}^m {\frac{{m!}}{{y!(m - y)!}}{p^y}{q^{m - y}}} $$
با توجه به اینکه:
$$\sum\limits_{y = 0}^m {\frac{{m!}}{{y!(m - y)!}}{p^y}{q^{m - y}} = {{(p + q)}^m}} $$
بنابراین:
رابطه (8)
$$E(x) = np$$
یعنی حاصلضرب تعداد آزمایش‌ها در احتمال موفقیت در هر آزمایش. تعداد دفعات انتظاری موفقیت را به دست می‌دهد.
و اما در تعیین انحراف استاندارد با استفاده از معادله زیر داریم:
$$\begin{array}{l}
V(x) = E({x^2}) - {E^2}(x)\\
E({x^2}) = \sum\limits_{x = 0}^n {{x^2}{(_n}{C_x}{p^x}{q^{n - x}}} )\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{x = 0}^n {x{{(x - 1)}_n}{C_x}{p^x}{q^{n - x}}} + \sum\limits_{x = 0}^n {{x_n}{C_x}{p^x}{q^{n - x}}} \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{x = 0}^n {x{{(x - 1)}_n}{C_x}{p^x}{q^{n - x}}} + np
\end{array}$$
همچنین با همان روش ساده‌سازی روابط خواهیم داشت:
$$\begin{array}{l}
E({x^2}) = np + \sum\limits_{x = 2}^n {\frac{{n(n - 1)(n - 2)!}}{{(x - 2)!(n - x)!}}{p^2}{p^{x - 2}}{q^{n - x}}} \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = np + {p^2}n(n - 1)\sum\limits_{x = 2}^n {\frac{{(n - 2)!}}{{(x - 2)!(n - x)!}}{p^{x - 2}}{q^{n - x}}} \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = np + {p^2}n(n - 1)\;.\;1\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {n^2}{p^2} + np - n{p^2}
\end{array}$$
رابطه (9)
$$\begin{array}{l}
V(x) = {n^2}{p^2} + np - n{p^2} - {(np)^2}\\
\;\;\;\;\;\;\; = np(1 - p) = npq
\end{array}$$
رابطه (10)
$$\sigma = \sqrt {npq} $$
ملاحظه می‌شود که اگرچه مقدار یا تعداد دفعات انتظاری شکست و موفقیت تحت شرایط $p \ne q$ مقادیری متفاوت است ولی انحراف استاندارد آن‌ها متناظر می‌باشد.
مثال (1): مطلوب است تعیین مقدار انتظاری و انحراف استاندارد تعداد محصول‌های معیوب در یک نمونه‌برداری 4 تایی مشروط بر آن که احتمال سلامت محصول برابر 90% ادعا شود.
$$n = 4$$
احتمال معیوب بودن
احتمال سالم بودن
$$\sigma = \sqrt {npq} $$
$$\sigma = \sqrt {npq} $$
$$\begin{array}{l}
E(defects) = 4 \times 0.1 = 0.4\\
\sigma (defects) = \sqrt {4 \times 0.1 \times 0.9} = 0.6
\end{array}$$
این نتایج را با روش محاسباتی مفصل نیز می‌توان به دست آورد که در جدول (1) ارائه شده است. $x$ می‌تواند حالات عددی از 0 تا 4 را با احتمالات مشخصی برای هر حالت اختیار نماید.
| تعداد عیب | احتمال هر مورد | $x{p_i}$ | ${x^2}{p_i}$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.6561 | - | - |
| 1 | 0.2916 | 0.2916 | 0.2916 |
| 2 | 0.0486 | 0.0972 | 0.1944 |
| 3 | 0.0036 | 0.0108 | 0.0324 |
| 4 | 0.0001 | 0.0004 | 0.0016 |
| جمع | 1.0000 | $E(x) = $=0.4 | 0.5200 |
$$\begin{array}{l}
E(defects) = 0.4\\
\sigma (defects) = \sqrt {0.52 - {{0.4}^2}} = 0.6
\end{array}$$
کاربردهای مهندسی (Engineering Applications)
محدود کردن بررسی (Restricting the Assessment)
در مثال‌های فوق که به منظور بیان مفهوم، ویژگی‌ها و تابع‌های احتمال با توزیع دوجمله‌ای ارائه شد همه نتایج میسر برشمرده شد ولی در کاربردهای عملی ضرورتی به پردازش کلیه حالت‌ها نیست و صرفاً حالت‌های معینی از میان کلیه حالت‌ها مورد نظر قرار می‌گیرد.
مثال (2): مشروط بر آن که یک درصد از محصولات فرآیند معینی معیوب باشد و مصرف کننده‌ای تعداد 50 عدد از این محصولات را ابتیاع کند احتمال آن که تعداد محصولات معیوب در این خرید محدود به دو عدد باشد چیست؟
حل: مضمون این سؤال شامل تعدادی معادل 2، 1، 0 محصول معیوب است و اطلاعات عبارتند از:
$$\begin{array}{l}
n = 50\;\;,\;\;p = 0.01\;\;,\;\;q = 0.99\;\;,\;\;r = 0,1,2\\
P(2\,or\,less\,defective){ = _{50}}{C_2}{(0.01)^2}{(0.99)^{48}}\\
\;\;\;\;\;\;\;{ + _{50}}{C_1}{(0.01)^1}{(0.99)^{49}}{ + _{50}}{C_0}{(0.99)^{50}}\\
\;\;\;\;\; = 0.0756 + 0.3056 + 0.6050 = 0.9862
\end{array}$$
تفسیرهای اقتصادی (Implication of Economics)
با توجه به این که در همه مسائل مهندسی فاکتور اقتصادی جزء لاینفکّی است لذا در ارزیابی‌های فنی نیز بُعد اقتصادی مطرح می‌باشد و در همه تصمیم‌گیری‌های مرتبط با قابلیت اطمینان و کنترل کیفیت ضرورتاً باید در سطوحی مختلف، ارزیابی اقتصادی هم صورت گیرد.
مثال (3): هرگاه در مثال (2) سیاست مدیریت مبنی بر تعویض محصولات معیوب خریداری شده بدون هیچ هزینه اضافی برای خریدار باشد در صورتی که هزینه تمام شده معادل $\$ 10$ برای هر واحد و قیمت فروش معادل $\$ 15$ باشد سود انتظاری چقدر خواهد بود؟
$(n = 1)$ برای هر محصول $E(defect) = 0.01$
بنابراین به میزان $1 + 0.01 = 1.01$ واحد محصول در هر فروش باید منظور شود. لذا برای واحد محصول خواهیم داشت:
$ = \$ 10 \times 1.01 = \$ 10.10$ هزینه ساخت
$ = \$ 15$ فروش
$ = \$ 15 – 10.10 = \$ 4.9$ سود
هرگاه هیچ‌یک از محصولات، معیوب نباشد در این صورت میزان سود معادل $\$ 5$ می‌شود. البته هیچ‌گاه نمی‌توان قابلیت اطمینان را به 100% رساند ولی در صورت حصول بهبودی در محصول که هزینه تمام شده محصول را به سطح افزایش دهد به نحوی که موجب کاهش محصولات معیوب به حد 0.1% شود برای سود واحد محصول خواهیم داشت:
$ = \$ (15 – 10.06) = \$ 4.94$ سود
که مفهوم افزایش سود به میزان $\$ 0.04$ بدون افزایش قیمت فروش و با حفظ همان سیاست تعویض می‌باشد. البته این مثال ساده‌ای بیش نیست ولی در بررسی طرق مختلف و تصمیم‌گیری در مورد کیفیت ویژگی‌های فنی ملاحظه می‌شود که تأثیرات متقابل فاکتورها چگونه است.
تأثیر کاربرد مازاد (Effect of Redundancy)
در مسائل مهندسی اصولاً نیاز به آنالیز حساسیت و یافتن راه‌حل‌های مختلف و مقایسه آن‌ها با هم می‌باشد. همان‌گونه که در مثال (3) نشان داده شد با بهبود کیفیت و قابلیت اطمینان ملاحظه شد که حتی می‌توان به منافع بیشتری دست یافت.
یکی از طرق افزایش قابلیت اطمینان کل یک سیستم به کار بردن عضوهای مازاد در سیستم می‌باشد. در اینجا اجمالاً با ذکر مثالی به معرفی این روش پرداخته می‌شود.
مثال (4): در سیستمی که متشکل از 4 عضو است (مانند پمپ آب در مهندسی مکانیک، سازه‌های اتکایی در مهندسی ساختمان، ریزپردازنده در مهندسی کنترل و یا مبدل حرارتی در مهندسی شیمی) اگرچه مسئله در قالب توصیف کلی بیان می‌شود ولی عملاً طیف وسیعی از مسائل را پوشش می‌دهد. فرض شود که از حیث اطمینان احتمال موفقیت هر یک از عضوها، متناظر و برابر 0.9 می‌باشد. حالت‌های میسر برای عضوها در ترکیب همزمانی با هم عبارتند از:
$${S^4} + 4{S^3}F + 6{S^2}{F^2} + 4S{F^3} + {F^4}$$
که در آن $S$ نمایانگر موفقیت و $F$ نمایانگر شکست است. جمع این ضرایب برابر با ${2^4} = 16$ می‌شود.
عبارت فوق معادل بسط دوجمله‌ای ${(S + F)^4}$ می‌باشد و مشروط بر متناظر بودن عضوها توزیع دوجمله‌ای برای آن کاربردپذیر است. حتی در صورت عدم متناظر بودن آن‌ها عبارت فوق همچنان به قوت خود باقی است مشروط بر آن که احتمال هر حالت از یک ترکیب به نحو صحیح رعایت شود به طور مثال هر یک از حالت‌های ${S^3}F$ مقداری متفاوت خواهد داشت. در این مثال با فرض متناظر بودن عضوها از نظر احتمال موفقیت و کاربرد مستقیم توزیع دوجمله‌ای جدول نتایج به شکل جدول (2) خواهد شد:
| حالت سیستم | احتمال هر مورد |
|---|---|
| تمام اجزا در حال کار | ${0.9^4} = 0.6561$ |
| با یک جزء از کار افتاده | $4 \times {0.9^3} = 0.2961$ |
| دو جزء از کار افتاده | $6 \times {0.9^2} \times {0.1^2} = 0.486$ |
| سه جزء از کار افتاده | $4 \times 0.9 \times {0.1^3} = 0.0036$ |
| همه اجزاء از کار افتاده | ${0.1^4} = 0.0001$ |
| جمع | $ = 1.0000$ |
در این مرحله نمی‌توان در مورد کفایت عمل این سیستم قضاوتی کرد مگر آن که کاربری و معیار تشخیصی برای موفقیت و یا شکست سیستم در اختیار باشد.
اطلاع از این معیارها در ارزیابی‌های فنی سیستم حائز اهمیت زیادی است و لذا بر مبنای تشخیص‌های طراحی و کاربری سیستم این معیارها را باید تعیین کرد. چهار معیار مختلف برای این مسئله قابل طرح است:
الف) برای عملکرد موفق سیستم به همه عضوها نیاز است.
ب) برای عملکرد موفق سیستم به 3 عضو نیاز است.
ج) برای عملکرد موفق سیستم به 2 عضو نیاز است.
د) برای عملکرد موفق سیستم به 1 عضو نیاز است.
که به بیان دیگر:
الف) شکست یک عضو یا بیشتر موجب شکست سیستم می‌شود.
ب) شکست دو عضو یا بیشتر موجب شکست سیستم می‌شود.
ج) شکست سه عضو یا بیشتر موجب شکست سیستم می‌شود.
د) شکست چهار عضو موجب شکست سیستم می‌شود.
سیستمی که از معیار “الف” پیروی می‌کند به عنوان سیستمی بدون عضو مازاد شناخته می‌شود و سیستمی که از معیار “د” پیروی می‌کند به عنوان سیستمی با کل عضوهای مازاد نامیده می‌شود. سیستم‌هایی با معیار عملکرد مطابق حالت‌های ب و ج تحت عنوان سیستم‌های با بخشی عضوهای مازاد و یا $m$ از $n$ شناخته می‌شود که در فصولی در بحث‌های آینده بررسی تفصیلی خواهند شد.
با در اختیار داشتن معیار موفقیت و یا شکست سیستم، احتمال مربوطه را می‌توان از جدول (2) استخراج کرد و بر مبنای آن مثلاً احتمال موفقیت یا قابلیت اطمینان سیستم را به دست آورد. به عنوان مثال برای سیستمی با معیار “ب” داریم:
$$\begin{array}{l}
R = 0.6561 + 0.2916 = 0.9477\\
Q = 0.0486 + 0.036 + 0.0001 = 0.0523 = 1 - R
\end{array}$$
برای کاربردهای عملی توصیه می‌شود که با مطالعه حساسیت، تأثیر کاربرد عضوهای مازاد در سیستم و اثر آن بر جنبه‌های اقتصادی، مورد بررسی قرار گیرد. دو روش مطالعه که در این مسئله میسر است شامل تغییر تعداد عضوهای در دسترس و تغییر تعداد عضوهای مورد نیاز برای موفقیت و یا عملکرد صحیح سیستم می‌باشد. در جدول (3) هر دو روش ارائه شده است.
نتایجی برای تفسیر قابلیت اطمینان سیستم قابل حصول است:
الف) قابلیت اطمینان سیستم بدون عضوهای مازاد، با افزایش تعداد عضوها کاهش می‌یابد.
ب) قابلیت اطمینان سیستمی با کل عضوهای مازاد، با افزایش تعداد عضوها افزایش می‌یابد
تأثیر شرایط نیمه بار (Effect of Partial Output (Derated) States)
در مثال‌هایی که مطرح شدند صرفاً دو گروه حالات، تقسیم‌بندی شده به شکست و موفقیت مطرح بودند. در شرایط عمل ممکن است نتوان یکی از این دو حالات را با مرزبندی مشخص برای عملکرد سیستم تعریف کرد. به عنوان مثال در یک کارخانه با فرآیند شیمیایی ممکن است شرایط نیمه ظرفیت ناشی از وقوع شکست در بخش‌هایی از سیستم را نتوان به عنوان شکست سیستم تلقی کرد. در واقع امر در این حالت صرفاً کاهش خروجی سیستم مطرح می‌باشد.
این نوع مسائل با تنظیم جدول کاهش ظرفیت و با استفاده از توزیع دوجمله‌ای و تعیین مقدار انتظاری کاهش ظرفیت قابل تحلیل می‌باشد.
مثال (5): برای یک نیروگاه کوچک مولد برق برای تأمین $10\;MW$ چهار طرح مختلف به شرح در پی آمده مورد بررسی است:
الف- یک واحد به ظرفیت $10\;MW$
ب- دو واحد هر یک به ظرفیت$10\;MW$
ج- سه واحد هر یک به ظرفیت$5\;MW$
د- چهار واحد هر یک به ظرفیت$3\frac{1}{3}\;MW$
اگرچه این مسئله‌ای خاص است ولی مفاهیم تحلیل آن در مسائل مشابه کاربردپذیر است.
در این مثال طرح اول بدون واحد مازاد و در سایر طرح‌ها یک واحد اضافی مازاد بر $10\;MW$ پیش‌بینی شده است. با فرض احتمال از کار افتادن هر یک از واحدهای یاد شده معادل 0.02 در واقع دسترس‌پذیری یا احتمال آمادگی کار برای آن‌ها معادل 0.98 در نظر گرفته شده است. جدول (4) برای مقایسه این طرح‌ها تنظیم شده است.
جدول (4) نشان‌دهنده کاستی عملکرد و مشابه جدول (2) است و لذا قابلیت اطمینان نسبی طرح‌ها را نشان نمی‌دهد. برای دستیابی به آن باید جدول نیازهای سیستم را تشکیل داد.
| واحدهای از کار افتاده | ظرفیت از کار افتاده | ظرفیت در دسترس | احتمال هر مورد |
|---|---|---|---|
| الف) یک واحد 10 مگاواتی | - | - | - |
| $0$ | $0$ | $10$ | $0.98$ |
| $1$ | $10$ | $0$ | $0.02$ |
| ب) دو واحد هریک 10 مگاوات | - | - | - |
| $0$ | $0$ | $20$ | ${0.98^2} = 0.9604$ |
| $1$ | $10$ | $10$ | $2 \times 0.98 \times 0.02 = 0.0392$ |
| $2$ | $20$ | $0$ | ${0.02^2} = \frac{{0.0004}}{{1.0000}}$ |
| ج) سه واحد هریک 5 مگاوات | - | - | - |
| $0$ | $0$ | $15$ | $0.941192$ |
| $1$ | $5$ | $10$ | $0.057624$ |
| $2$ | $10$ | $5$ | $0.001176$ |
| $3$ | $15$ | $0$ | $\frac{{0.000008}}{{1.000000}}$ |
| د) چهار واحد هر کدام 1/3 مگاوات | - | - | - |
| $0$ | $0$ | $13\frac{1}{3}$ | $0.92236816$ |
| $1$ | $3\frac{1}{3}$ | $10$ | $0.07529536$ |
| $2$ | $6\frac{2}{3}$ | $6\frac{2}{3}$ | $0.00230496$ |
| $3$ | $10$ | $3\frac{1}{3}$ | $0.00003136$ |
| $4$ | $13\frac{1}{3}$ | $0$ | $\frac{{0.00000016}}{{1.00000000}}$ |
در این مثال توان مورد نیاز 10 مگاوات است. با اعمال اثر احتمال از کار افتادن ظرفیت‌ها در مقادیر آن‌ها و تعیین امید ریاضی برای هر مجموعه از واحدها به شاخص کاستی انتظاری در عملکرد هر یک از طرح‌ها می‌توان دست یافت. این ارزیابی در جدول (5) ارائه شده است.
جدول (5) که نمایانگر نقصان و کاستی‌های ظرفیت عملکرد در پاسخگویی در مقابل بار می‌باشد قابلیت اطمینان هر یک از طرح‌ها را در ستون آخر با تعیین جمع مقدار انتظاری افت ظرفیت ارائه می‌نماید.
در اینجا می‌توان مقایسه‌ای معنادار میان طرح‌های مختلف بر مبنای افت ظرفیت انجام داد و بدین ترتیب طرح دوم با دو واحد مولد برق $15\;MW$ از قابلیت اطمینان بیشتری برخوردار است ولی تا اینجا از جنبه‌های اقتصادی صرف نظر شده است در حالی که ارزیابی بدون بررسی اقتصادی کامل نمی‌شود. هرگاه هزینه سرمایه‌گذاری اولیه و هزینه‌های جاری را در تناسب با توان الکتریکی نصب شده در نظر بگیریم (که البته فرض معقولی است) در این صورت مقایسه طرح‌های فوق به سادگی میسر نخواهد بود و باید موازنه‌ای میان هزینه بیشتر در مقابل حصول قابلیت اطمینان بیشتر مورد ملاحظه قرار گیرد.
| MW ظرفیت از کار افتادن | احتمال هر مورد | MW کاستی عملکرد | MW مقدار انتظاری کاستی عملکرد |
|---|---|---|---|
| الف) یک واحد 10 مگاواتی | - | - | - |
| $0$ | $0.98$ | $0$ | - |
| $10$ | $0.02$ | $10$ | $\frac{{0.02}}{{0.2}}MW$ |
| ب) دو واحد هریک 10 مگاوات | - | - | - |
| $0$ | $0.9604$ | $0$ | - |
| $10$ | $0.0392$ | $0$ | - |
| $20$ | $0.0004$ | $10$ | $\frac{{0.004}}{{0.004}}MW$ |
| ج) سه واحد هریک 5 مگاوات | - | - | - |
| $0$ | $0.941192$ | $0$ | - |
| $5$ | $0.057624$ | $0$ | - |
| $10$ | $0.001176$ | $5$ | $0.00588$ |
| $15$ | $0.000008$ | $10$ | $\frac{{0.00008}}{{0.00596}}MW$ |
| د) چهار واحد هر کدام 1/3 مگاوات | - | - | - |
| $0$ | $0.92236816$ | $0$ | - |
| $3\frac{1}{3}$ | $0.07529536$ | $0$ | - |
| $6\frac{2}{3}$ | $0.00230496$ | $3\frac{1}{3}$ | $0.00768320$ |
| $10$ | $0.00003136$ | $6\frac{2}{3}$ | $0.00020907$ |
| $13\frac{1}{3}$ | $0.00000016$ | $10$ | $\frac{{0.00000160}}{{0.00789387}}MW$ |
به طور کلی هزینه‌های واحد مولد برق شامل هزینه‌های سالیانه جاری به علاوه هزینه‌های عملیات و نگهداری می‌شود. با فرض این که جمع هزینه‌های سرمایه‌گذاری در تناسب با ظرفیت واحد باشد و برای هر 10 مگاوات معادل واحد در نظر گرفته شود، مقایسه این هزینه‌ها را برای طرح‌های مختلف می‌توان با استفاده از جدول (6) انجام داد
| طرح | MW جمع کاستی عملکرد | هزینه نسبی بر مبنای طرح 10 مگاواتی |
|---|---|---|
| $1 \times 10$ | $0.2$ | $1.0$ |
| $2 \times 10$ | $0.004$ | $2.0$ |
| $3 \times 5$ | $0.00596$ | $1.5$ |
| $4 \times 3\frac{1}{3}$ | $0.007893$ | $1.33$ |
شاخص قابلیت اطمینان بر اساس کاستی عملکرد نمایانگر میزان توانی است که در مجموع هر طرح مولد برق قادر به تأمین آن نیست ولی هیچ‌گونه اشاره‌ای به مدت زمانی که این نقصان رخ می‌دهد نمی‌کند. این کار را با تشکیل شاخص مدت زمان کاستی عملکرد می‌توان انجام داد. اگر فرض شود که واحد مولد برق برای کار مداوم معادل $8760\frac{{hr}}{{yr}}$ (ساعت در سال) به کار می‌رود در این صورت می‌توان مدت زمان کاستی عملکرد را بر اساس احتمال کاستی عملکرد هر طرح تعیین کرد. نتایج چنین روشی برای این مثال در جدول (7) نشان داده شده است.
| طرح | احتمال کاستی عملکرد | مدت انتظاری کاستی عملکرد (hr/yr) |
|---|---|---|
| $1 \times 10\;MW$ | $0.02$ | $175.2$ |
| $2 \times 10\;MW$ | $0.0004$ | $3.504$ |
| $3 \times 5\;MW$ | $0.001184$ | $10.37814$ |
| $4 \times 3\frac{1}{3}\;MW$ | $0.00233648$ | $20.46756$ |
تأثیر دسترس‌ناپذیری
در مثال عددی قسمت قبل، احتمال از کار افتادن ظرفیت‌های کاری که نمایانگر دسترس‌ناپذیری آن‌ها است برابر با 0.02 یا 2% در نظر گرفته شد. این پارامترها تأثیر بسیار تعیین کننده‌ای در ارزیابی‌های قابلیت اطمینان سیستم دارد.
با در نظر گیری دوباره مثال (5) برای تعیین قابلیت اطمینان بر اساس دسترس‌ناپذیری‌های 2%، 4%، 6% جدولی از نتایج مقایسه‌ای مطابق جدول (8) می‌توان تشکیل داد.
| طرح | $1 \times 10\;MW$ | $2 \times 10\;MW$ | $3 \times 5\;MW$ | $4 \times 3\frac{1}{3}\;MW$ |
|---|---|---|---|---|
| دسترس ناپذیری % | کاستی انتظاری ظرفیت عملکرد MW | |||
| $2$ | $0.2$ | $0.004$ | $0.00596$ | $0.0078938$ |
| $4$ | $0.4$ | $0.016$ | $0.02368$ | $0.0311240$ |
| $6$ | $0.6$ | $0.036$ | $0.05292$ | $0.069094$ |
تأثیر کاربرد یک واحد ذخیره (Effect of One Unit in Reserve)
یکی از معیارهایی که برای تأمین ظرفیت‌های عملکرد در نظر گرفته می‌شود تأثیر کاربرد یک واحد ذخیره از واحدهای نصب شده، مازاد بر تأمین حداکثر بار مورد نیاز است. این معیار به سهولت بر مبنای احتمال خطر قابل محاسبه و ارزیابی است. برای ارائه این مطلب، مقایسه‌ای از احتمال خطر در سیستمی متشکل از 2 تا 10 واحد متناظر هر یک با دسترس‌ناپذیری همانند و برابر با 2% در جدول (9) ارائه شده است. مقدار احتمال خطر نسبی برای سیستم با 2 واحد متناظر معادل 1 منظور شده است.
| تعداد واحدهای سیستم | احتمال از کار افتادن بیش از یک واحد | احتمال نسبی خطر |
|---|---|---|
| $2$ | $0.0004$ | $1.00$ |
| $3$ | $0.001184$ | $2.96$ |
| $4$ | $0.002336$ | $5.85$ |
| $5$ | $0.003842$ | $9.60$ |
| $6$ | $0.005687$ | $14.22$ |
| $7$ | $0.007857$ | $19.64$ |
| $8$ | $0.010337$ | $25.84$ |
| $9$ | $0.013115$ | $32.79$ |
| $10$ | $0.016178$ | $40.44$ |
ظرفیت‌های غیرمتناظر (Non-Identical Capacities)
از شرایط الزامی برای کاربردپذیری توزیع دوجمله‌ای، یکسانی تأثیر و اهمیت وجود عضوها برای سیستم است. هرگاه تأثیر بر مبنای تعداد واحدهای در حال کار و یا از کار افتاده باشد در این صورت توزیع دوجمله‌ای بدون توجه به ظرفیت هر یک از واحدها کاربردپذیرست، مشروط بر آن که نااطمینانی و یا عدم مهیا بودن برای کار این واحدها متناظر باشد.
ولی هرگاه ظرفیت‌های متفاوت واحدها تأثیر متفاوتی بر عملکرد سیستم داشته باشد اگرچه توزیع دوجمله‌ای به طور مستقیم کاربردپذیر نیست ولی اصول حاکم بر مفهوم ترکیبات در تنظیم جدول احتمال مربوط به تأثیر ظرفیت واحدها همچنان حاکم می‌باشد.
مثال (6): در یک ایستگاه پمپاژ تعداد دو پمپ هر یک به ظرفیت 30t/hr و یک پمپ به ظرفیت 20t/hr به کار رفته است. نااطمینانی (دسترس‌ناپذیری) هر یک برابر 0.1 می‌باشد. مطلوب است تنظیم جدول احتمال ظرفیت‌های از کار افتاده و مقایسه آن با جدول احتمال از کار افتادگی واحدها.
الف- جدول احتمال از کار افتادگی واحدها: اطلاعات مورد نیاز مستقیماً از توزیع دوجمله‌ای قابل حصول است (جدول (10)).
| واحدهای از کار افتاده | احتمال هر مورد | |||
|---|---|---|---|---|
| $0$ | ${0.9^3} = 0.729$ | |||
| $1$ | $3 \times {0.9^2} \times 0.1 = 0.243$ | |||
| $2$ | $3 \times 0.9 \times {0.1^2} = 0.027$ | |||
| $3$ | ${0.1^3} = 0.0001$ | |||
| - | جمع= $ 1.000$ | |||
ب- جدول احتمال ظرفیت‌های از کار افتاده: با توجه به این که همه واحدها یکسان نیستند از توزیع دوجمله‌ای نمی‌توان به طور مستقیم استفاده کرد. در اینجا ابتدا همه واحدهای متناظر را در الحاق به یکدیگر بررسی نموده و سپس نتایج آن‌ها مجدداً در الحاق به یکدیگر برای ارزیابی حالت‌های مختلف به کار می‌رود. این روش به لحاظ این که حادثه‌های سیستم مستقل و ناسازگارند کاربردپذیر می‌باشد. برای این منظور جداول (11) و (12) تنظیم شده است.
| ظرفیت از کار افتاده برای طرح با واحدهای $2 \times 20$ | ظرفیت از کار افتاده برای طرح با واحدهای $1 \times 20$ | ||
|---|---|---|---|
| ظرفیت از کار افتاده t/hr | احتمال هر مورد | ظرفیت از کار افتاده t/hr | احتمال هر مورد |
| $0$ | ${0.9^2} = 0.81$ | 0 | $0.9$ |
| $20$ | $2 \times 0.9 \times 0.1 = 0.18$ | $30$ | $0.1$ |
| $40$ | ${0.1^2} = 0.01$ | - | - |
| جمع احتمالات =1 | جمع احتمالات =1 | ||
| ظرفیت از کار افتاده | احتمال هر مورد |
|---|---|
| $0$ | $0.81 \times 0.9 = 0.729$ |
| $20$ | $0.18 \times 0.9 = 0.162$ |
| $30$ | $0.81 \times 0.1 = 0.081$ |
| $40$ | $0.01 \times 0.9 = 0.009$ |
| $50$ | $0.18 \times 0.1 = 0.018$ |
| $70$ | $0.01 \times 0.1 = 0.001$ |
| - | جمع احتمالات =1 |
بدیهی است که در یافتن ظرفیت‌های از کار افتاده هر ردیف از جدول (12) از ترکیب و همزمانی از کار افتادگی واحدهای 20 و 30 مگاواتی استفاده می‌شود.
احتمال شکست غیرمتناظر (Non-Identical Unavailabilities)
همان‌گونه که ذکر شد هنگامی توزیع احتمال دوجمله‌ای مستقیماً کاربردپذیرست که احتمال شکست و موفقیت همواره ثابت باقی بماند ولی باید توجه داشت که در عمل نه تنها با ظرفیت‌های متفاوت برای واحدها مواجه هستیم بلکه احتمال شکست آن‌ها نیز متفاوت می‌باشد. حال با در نظر گرفتن ظرفیت‌های متناظر برای واحدهای یک سیستم، برای احتمال شکست آن‌ها تفاوت قائل می‌شویم. در صورت تساوی ظرفیت‌ها و احتمال شکست برای واحدهای سیستم مستقیماً از توزیع دوجمله‌ای خواهیم داشت:
${(p + q)^n}$
$n$ =تعداد واحدها
که به معنای:
$${(p + q)^n} = \overbrace {(p + q)(p + q)...(p + q)}^n$$
حال اگر قابلیت اطمینان واحدها متفاوت باشد خواهیم داشت:
$$({p_1} + {q_1})({p_2} + {q_2})...({p_n} + {q_n})$$
مثال (7): مطابق مثال قبل با این تفاوت که احتمال شکست واحدهای 20t/hr برابر 0.1 و احتمال شکست واحد 30t/hr برابر 0.15 باشد جدول احتمالات ظرفیت‌های از کار افتاده به صورت جدول (13) تنظیم خواهد شد.
| ظرفیت از کار افتاده t/hr | احتمال هر مورد |
|---|---|
| $0$ | $0.81 \times 0.85 = 0.6885$ |
| $20$ | $0.18 \times 0.85 = 0.1530$ |
| $30$ | $0.81 \times 0.15 = 0.1215$ |
| $40$ | $0.01 \times 0.85 = 0.0085$ |
| $50$ | $0.18 \times 0.15 = 0.027$ |
| $70$ | $0.01 \times 0.15 = 0.0015$ |